流体の運動方程式（レベル2）：ナビエ・ストークスの方程式の導出 part1
https://www.youtube.com/watch?v=itfWTYaSYAo
内容
これはどうでもいいのでパス
しかも正規直交基底でしか使えない式だし
そもそもこんな長ったらしいのなんて書いていられない
加速度項の導出
追跡している流体粒子$ \pmb{X}の加速度は$ \frac{\partial^2\pmb{\phi}(\pmb{X},t)}{{\partial t}^2}
これを空間表示すれば、求めたい加速度項になる
$ \left.\frac{\partial^2\pmb{\phi}(\pmb{X},t)}{{\partial t}^2}\right|_{\pmb{X}=\pmb{\phi}^{-1}}=\left.\frac{\partial\pmb{u}(\pmb{\phi}(\pmb{X},t),t)}{\partial t}\right|_{\pmb{X}=\pmb{\phi}^{-1}}=\frac{\mathrm{D}\pmb{u}}{\mathrm{D} t}
↓2022-07-04次段落の疑問は解決している
「時刻tでの流体粒子の運動量+時刻tに流体粒子に働いた力=dt後の流体粒子の運動量」なので、力の項は時刻tでの領域にかかる力だけ考えればいい
運動量変化に関しては領域の体積変化を考慮しないといけないが、物質点の質量保存則$ \frac{\mathrm{D} \rho\mathrm{d}V}{\mathrm{D} t}=0と非圧縮性流れの条件より、体積変化しないので、結局のところ運動量変化も流体粒子の加速度だけ考えればいいことになる 圧縮性流れであっても、$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D} t}(\rho\pmb{u}\mathrm{d}V)=\pmb{u}\frac{\mathrm{D}\rho\mathrm{d}V}{\mathrm{D} t}+\rho\mathrm{d}V\frac{\mathrm{D}\pmb{u}}{\mathrm{D} t}=\rho\mathrm{d}V\frac{\mathrm{D}\pmb{u}}{\mathrm{D} t}で$ \mathrm{d}t間の体積変化は考慮しなくていい
そのうち切り出す
この項を運動方程式の加速度項として用いるのはまずいtakker.icon
それなのに加速度項だけ流体粒子を追跡して求めている
これはたまたま正しい式が導かれているだけで、導出過程は明らかに誤っている
正しくは以下のどれかを用いる必要がある
$ \mathrm{d}t後の流体粒子の近傍の領域変化を考慮に入れる
この場合外力と圧力は、時間変化前の流体粒子を取り囲む微小領域に働く力だけ考えればいい
運動方程式は「時刻tでの流体粒子の運動量+時刻tに流体粒子に働いた力=dt後の流体粒子の運動量」という形なので、$ \mathrm{d}t後の流体粒子の領域変化は運動量に関してだけ考えればいい
あ、もしかして非圧縮性流れなら$ \mathrm{d}tにおける体積変化は考えなくていいのか？
いや、非圧縮性流れで一定なのはあくまで流体粒子の密度$ \rhoであって、微小体積ではないはず
もし微小体積も時間変化しないのなら、$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D} t}(\rho\pmb{u}\mathrm{d}V)=\rho\frac{\mathrm{D}\pmb{u}}{\mathrm{D} t}\mathrm{d}Vとなり、正しい論理で完全流体の運動方程式を導出できるが、非圧縮性流れの過程に体積に関する言及がない もしかして$ \pmb{\nabla}\cdot\pmb{u}=0から導けたりする？
平面で考えてみる
https://kakeru.app/5c1a2cb0d208a89d416a934e3d913f21 https://i.kakeru.app/5c1a2cb0d208a89d416a934e3d913f21.svg
いやなんかおかしいぞこの計算
$ \frac{\mathrm{D}\mathrm{d}V}{\mathrm{D} t}を解くだけでいけそうかも
途中式を簡単にするために、$ \mathrm{d}Vで割っておく
$ \frac{1}{\mathrm{d}V}\frac{\mathrm{D}\mathrm{d}V}{\mathrm{D} t}=\frac{1}{\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z}\frac{\mathrm{D}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z}{\mathrm{D} t}
正規直交基底で考える
$ =\frac{1}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{D}\mathrm{d}x}{\mathrm{D} t}+\frac{1}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{D}\mathrm{d}y}{\mathrm{D} t}+\frac{1}{\mathrm{d}z}\frac{\mathrm{D}\mathrm{d}z}{\mathrm{D} t}
物質表示に変換すると、$ \mathrm{d}x=\dot{\phi_x}\mathrm{d}tだから、$ \frac{\mathrm{D}\mathrm{d}x}{\mathrm{D} t}=\ddot{\phi_x}(\phi_x^{-1},t)\mathrm{d}t
もしくは、$ \frac{1}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{D}\mathrm{d}x}{\mathrm{D} t}=\frac{1}{\mathrm{d}x}u_x\frac{\partial\mathrm{d}x}{\partial x}
うまくいかないな……
$ \frac{\mathrm{D}\mathrm{d}V}{\mathrm{D} t}=(\pmb{\nabla}\cdot\pmb{u})\mathrm{d}Vになるなら解決するのか？
非圧縮性流れなら確かにこれで問題ない
圧縮性流れだとどうなる？
$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D} t}(\rho\pmb{u}\mathrm{d}V)=\rho\mathrm{d}V\frac{\mathrm{D}\pmb{u}}{\mathrm{D} t}+\pmb{u}\mathrm{d}V\frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t}+\rho\pmb{u}(\pmb{\nabla}\cdot\pmb{u})\mathrm{d}V
$ =\rho\mathrm{d}V\frac{\mathrm{D}\pmb{u}}{\mathrm{D} t}-\pmb{u}(\mathrm{d}V)\rho(\pmb{\nabla}\cdot\pmb{u})+\rho\pmb{u}(\pmb{\nabla}\cdot\pmb{u})\mathrm{d}V
$ \because \frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t}=-\rho(\pmb{\nabla}\cdot\pmb{u})
$ =\rho\mathrm{d}V\frac{\mathrm{D}\pmb{u}}{\mathrm{D} t}
うまく行った！takker.icon*2
なるほど。物質点に対して質量保存則を適用した式$ \frac{\mathrm{D} \rho\mathrm{d}V}{\mathrm{D} t}=0を使うわけだ
導出は挫折したけど……
検査領域の運動量変化を使う
こっちの方が簡単？
(方法1)任意の領域で大きく考えた後、微小領域に直す
任意の領域$ Vでの運動量変化は$ \int_{\partial V}\rho\pmb{u}(\pmb{u}\cdot\mathrm{d}\pmb{S})+\int_V\frac{\partial\rho\pmb{u}}{\partial t}\mathrm{d}Vになる
1. 境界から流出する運動量
2. 領域内の運動量の時間変化
これを変形する
$ \int_{\partial V}\rho\pmb{u}(\pmb{u}\cdot\mathrm{d}\pmb{S})+\int_V\frac{\partial\rho\pmb{u}}{\partial t}\mathrm{d}V
$ =\int_{\partial V}\rho(\pmb{u}\otimes\pmb{u})\mathrm{d}\pmb{S}+\int_V\frac{\partial\rho\pmb{u}}{\partial t}\mathrm{d}V
$ =\int_V\mathrm{div}(\rho(\pmb{u}\otimes\pmb{u}))\mathrm{d}V+\int_V\frac{\partial\rho\pmb{u}}{\partial t}\mathrm{d}V
$ =\int_V\left(\mathrm{div}(\rho(\pmb{u}\otimes\pmb{u}))+\frac{\partial\rho\pmb{u}}{\partial t}\right)\mathrm{d}V
$ =\int_V\left((\pmb{\nabla}\cdot\rho\pmb{u})\pmb{u}+(\rho\pmb{u}\cdot\pmb{\nabla})\pmb{u}+\frac{\partial\rho\pmb{u}}{\partial t}\right)\mathrm{d}V
展開は$ (\pmb{a}\otimes\pmb{b})\pmb{c}=(\pmb{b}\cdot\pmb{c})\pmb{a}のイメージ
$ =\int_V\left(\rho(\pmb{u}\cdot\pmb{\nabla})\pmb{u}+\left(\pmb{\nabla}\cdot(\rho\pmb{u})+\frac{\partial\rho}{\partial t}\right)\pmb{u}+\rho\frac{\partial\pmb{u}}{\partial t}\right)\mathrm{d}V
$ =\int_V\rho\left((\pmb{u}\cdot\pmb{\nabla})\pmb{u}+\frac{\partial\pmb{u}}{\partial t}\right)\mathrm{d}V
$ \because連続の式より$ \pmb{\nabla}\cdot(\rho\pmb{u})+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0
$ =\int_V\rho\frac{\mathrm{D}\pmb{u}}{\mathrm{D} t}\mathrm{d}V
よって、微小領域での運動量変化は$ \rho\frac{\mathrm{D}\pmb{u}}{\mathrm{D} t}\mathrm{d}Vになる
(方法2)微小直方体領域で考える
解説は気が向いたらそのうち書く
図解する必要がある
外力項および圧力項の導出
(図は略)
体積力(外力)は$ \pmb{f}\mathrm{d}V
$ -\pmb{\nabla}P\mathrm{d}V
微小領域の外部から内部へ向かう力なので、-で符号を反転させている
導出
これは割愛
境界に働く全静水圧は$ \int_{\partial V}P(-\mathrm{d}\pmb{S}) $ \int_{\partial V}P(-\mathrm{d}\pmb{S})=-\int_V\pmb{\nabla}P\mathrm{d}Vなので、微小体積要素$ \mathrm{d}V に働く全静水圧は$ -\pmb{\nabla}P\mathrm{d}Vになる
$ \rho\frac{\mathrm{D}\pmb{u}}{\mathrm{D} t}=\pmb{f}-\pmb{\nabla}P
References